42
Медицинская радиология и радиационная безопасность, 2015, Том 60, № 6
Введение
При внутривенном введении РФП происходит
его встраивание в метаболические пути организма
путем связывания и биотрансформации с метаболи-
тами, от чьей кинетики будет зависеть достижение
конечного результата – терапевтического или диа-
гностического эффекта. Такие лучевые исследования
с применением РФП в диагностических или терапев-
тических целях сопряжены с риском развития ряда
осложнений, напрямую связанных с ионизирующим
излучением радионуклида [1, 2]. Поэтому в процессе
доказательства функциональной пригодности РФП
необходимо положительно скорректировать его фар-
макокинетику для последующего доказательства ра-
диационной безопасности.
Создание математической модели кинетики
транспорта РФП in vivo, опираясь на эксперимен-
1
Федеральный медицинский биофизический центр им. А.И.Бур-
на зяна ФМБА России, Москва. E-mail: l5h33@rambler.ru
2
Московская государственная академия ветеринарной
медицины и биотехнологии им. К.И. Скрябина
1
A.I. Burnasyan Federal Medical Biophysical Center of FMBA,
Moscow, Russia. E-mail: l5h33@rambler.ru
2
Moscow State Academy of Veterinary Medicine and Biotechnology,
Moscow, Russia
ЯДЕРНАЯ МЕДИЦИНА NUCLEAR MEDICINE
А.С. Лунёв
1,2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕТИКИ ТРАНСПОРТА
РАДИОФАРМАЦЕВТИЧЕСКОГО ПРЕПАРАТА
68
GA-ЦИТРАТ
ДЛЯ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ВОСПАЛЕНИЙ
A.S. Lunev
1,2
Mathematical Simulation of Transport Kinetics of Radiopharmaceutical
68
Ga-Citrate for PET Imaging of Inflammation
РЕФЕРАТ ABSTRACT
Цель: Одним из перспективных радиофармпрепаратов
(РФП) для ПЭТ-визуализации воспалений является
68
Ga-цит-
рат – аналог
67
Ga-цитрата. Однако определенные трудности,
связанные с фармакокинетикой РФП (медленный клиренс кро-
ви, длительный период накопления в очаге воспаления) и малым
периодом полураспада галлия-68 (67,8 мин), подразумевают не-
обходимость откладывания процедуры сканирования (до 24–
72 ч) и исключают возможность применения короткоживущего
изотопа. Предложенный путь решения такой задачи, а именно
дополнительное введение конкурентного химического агента в
виде цитрата железа, должен быть количественно оправдан. По-
этому целью является создание и исследование математической
(камерной) модели кинетики транспорта
68
Ga-цитрата в присут-
ствии цитрата стабильного железа (III).
Материал и методы: Объектами исследования являлись
68
Ga-цитрат и цитрат железа (III). Материалом исследования
являлись нелинейные крысы-самки с моделью асептического
воспаления мягких тканей, разбитые на две группы по способу
введения
68
Ga-цитрата (с/без цитрата железа). Количественные
данные о биораспределении
68
Ga-цитрата (с/без цитрата железа)
в организме крыс впоследствии были использованы для созда-
ния математической модели кинетики транспорта препарата и
расчета фармакокинетических параметров.
Результаты: По данным созданной математической модели
дополнительное введение цитрата железа (III) позволило суще-
ственно ускорить клиренс крови от
68
Ga-цитрата, замедлить его
аккумуляцию в печени и экскрецию через кишечник и, напро-
тив, повысить накопление и удержание
68
Ga-цитрата в очаге
воспаления.
Выводы: Математические расчеты количественно подтвер-
дили, что дополнительное введение цитрата железа (III) благо-
приятно сказывается на качестве визуализации воспалительных
процессов методом позитронной эмиссионной томографии.
Purpose:
68
Ga-citrate is
67
Ga-citrate analogue and prospective
radiopharmaceutical for PET imaging of inflammation and infection.
However, some pharmacokinetic hardships such as low blood clearance
and long accumulation time in foci (24–72 h) except application
possibility of the short-lived gallium-68 (T
1
/
2
= 68 min). Proposed
solution of this problem (extra injection of competitive chemical
agent; here: Fe-citrate) should be proved quantitatively. Therefore
the aim of this study is the creation of a mathematical (compartment)
model for the transport kinetics of radiopharmaceutical
68
Ga-citrate
with extra injection of stable Fe-citrate.
Material and methods:
68
Ga-citrate and stable Fe-citrate for i.
v. injection are the objects of our study. Nonlinear rats’ females (two
groups: with/without extra injection of Fe-citrate) with soft tissue
inflammation were used. Mathematical simulation of transport
kinetics for calculation of pharmacokinetic parameters was created
according to the rats’ biodistribution of
68
Ga-citrate.
Results: Extra i. v. injection of Fe-citrate allowed accelerating
blood clearance from
68
Ga-citrate, significantly decelerated its
liver accumulation and excretion through intestine. Moreover,
extra injection of Fe-citrate allowed for the increase of
68
Ga-citrate
accumulation and retention in inflammation site.
Conclusion: Mathematical calculations quantitatively confirmed
that extra injection of Fe-citrate had a positive impacted on PET
imaging of inflammation.
Ключевые слова:
68
Ga-цитрат, радиофармпрепарат, математи-
ческое моделирование, камерная модель
Key words:
68
Ga-citrate, radiopharmaceutical, mathematical simulation,
compartment model
43
тальные данные, позволяет количественно оценить
скорость перехода РФП между органами камера-
ми или компартментами. Метод камерных моделей и
построения экспоненциальных функций камерного
накопления–выведения дает естественную возмож-
ность строить индивидуальные модели обращения
РФП в критических органах и патологических оча-
гах и тем самым обеспечить более адекватную оценку
уровней их внутреннего облучения, чем применение
стандартных методик из рекомендаций МКРЗ [3].
Одним из перспективных препаратов для ПЭТ-
визуализации воспалений является
68
Ga-цитрат ана-
лог
67
Ga-цитрата, уже около сорока лет применяюще-
гося в клинической практике ОФЭКТ-визуализации
[4]. Известно, что после его внутривенного введения,
происходит реакция перелигандирования, и галлий
связывается с трансферрином плазмы крови бел-
ком острой фазы воспаления, подобно железу, после
чего макромолекула доставляет радиометку в патоло-
гические очаги [5]. Вместе с тем, чрезмерное связыва-
ние галлия с трансферрином приводит к медленному
клиренсу крови и соответственно более длительному
периоду накопления в патологическом очаге – до 24–
72 ч, что подразумевает необходимость откладывания
процедуры сканирования и исключает возможность
применения короткоживущего изотопа
68
Ga (период
полураспада 67,8 мин). Одним из путей решения этой
задачи предполагается введение дополнительных хи-
мических агентов, которые будут конкурировать с
радиоактивным галлием в присоединении к транс-
феррину крови. Учитывая, что наиболее близким к
галлию по константе связывания с транспортными
белками и другим физико-химическим свойствам
является трехвалентное железо [6], было сделано
предположение о возможности использования его
физиологически приемлемых соединений приме-
ру, цитрата железа (III)) для блокирования металлос-
вязывающей способности трансферрина крови, как
способа коррекции фармакокинетики
68
Ga-цитрата.
Исследование камерной модели кинетики транс-
порта
68
Ga-цитрата поможет количественно описать
течение процесса in vivo, а также правильно и коррек-
тно интерпретировать результаты, касающиеся уско-
рения клиренса крови и накопления в очаге воспале-
ния с дополнительным введением цитрата железа (III).
Материал и методы
Объектами исследования являлись:
РФП
68
Ga-цитрат (0,5 мКи/мл) для визуализации
воспалительных процессов методом ПЭТ
раствор цитрата стабильного железа (III) для бло-
кирования металлосвязывающей способности
трансферрина в крови.
Материалом исследования являлись нелиней-
ные крысы-самки разводки питомника «Филиал
Андре ев ка ФГБУН НЦБМТ ФМБА России». Экспе-
риментальные животные содержались в стандарт-
ных условиях при естественном световом режиме на
стандартной диете, свободном доступе к воде и пище.
Все манипуляции с животными проводились в со-
ответствии с правилами, принятыми Европейской
конвенцией по защите позвоночных животных, ис-
пользуемых для экспериментальных и иных научных
целей (Страсбург, 1986).
Для моделирования воспаления крысам вводили
0,2 мл стерильного раствора скипидара внутримы-
шечно. Острая фаза воспаления наступала через 3 сут
после инокуляции ирританта. Животные были разби-
ты на две группы по способу внутривенного введения
68
Ga-цитрата:
с цитратом стабильного железа (III);
без цитрата стабильного железа (III).
Затем животных умерщвляли через определен-
ный интервал времени для отбора проб крови и ор-
ганов с последующим определением содержания в
них препарата ( %/орг или %/г органа) методом пря-
мой радиометрии на автоматическом гамма-счетчике
Wizard 2480 (PerkinElmer, USA).
Моделирование камерного перехода. Если орган
(для математической модели и далее по тексту ка-
мера) является закрытой системой (т.е. РФП не выво-
дится из камеры), то продолжительность его облуче-
ния зависит от физического распада радионуклида со
скоростью l
физ
, ч
–1
. Если камера является открытой
системой, то, кроме физического распада, меченый
препарат будет подвергаться биологическому выве-
дению путем биотрансформации со скоростью l
биол
,
ч
–1
. Поэтому общая эффективная скорость выведе-
ния, описывающая время, за которое радиоактив-
ность в камере снижается в два раза, равна:
l
эфф
= l
физ
+ l
биол
. (1)
На рис. 1 показана простая камерная модель, опи-
сывающая кинетику
68
Ga-цитрата. Отражены камеры
с наиболее видимым накоплением РФП. Модель раз-
бита на шесть камер с эффективными константами
скоростей накопления и выведения.
Однако в реальности камерная модель будет на
порядок сложнее: отсутствует камера желудка, отку-
да препарат косвенно попадает в печень, а также очаг
воспаления, который может быть локализован в са-
мой печени (например, печеночный абсцесс). Между
камерами печени и кишечника находится камера
желчного пузыря. Также в реальности необходимо
напрямую представить пути накопления–выведения
CB и UB.
44
При внутривенном введении РФП происхо-
дит его дальнейшая миграция по камерам, чья ки-
нетика может быть описана дифференциальными
уравнениями:
.)(
)(
)(
BKLI
dt
dB
L
dt
dC
K
dt
dU
KB
dt
dK
LB
dt
dL
IB
dt
dI
KBLBIBBKBLBI
CL
UK
UKBKKB
CLBLLB
BIIB
. (2)
. (2)
Решением представленной системы дифферен-
циальных уравнений является нахождение уравне-
ний показательных функций с эффективными ско-
ростями накопления–выведения. К примеру, на рис.
2 показано «идеализированное» решение первого
уравнения динамика быстрого накопления в очаге
воспаления и более медленного экспоненциального
выведения препарата из него, причем накопление
для данной функции описывается константой ско-
рости l
IB
, являясь одновременно одной из констант
выведения препарата из крови.
Для объединения точек кривой в единую зави-
симость использовали метод анализа наименьших
квадратов на основе аппроксимации Рунге–Кутта. С
этой целью вводился функционал невязки (3), опи-
сывающий меру отклонения (4) расчетной характери-
стики процесса (здесь искомой функции накопле-
ния–выведения от ее экспериментальных значений в
заданные моменты времени):

(3)
(3)




,
(4)
(4)
где F(t
i
) – функция, описывающая реальное нако-
пление–выведение препарата; F
e
i
аппроксими-
рующая экспоненциальная функция; формула (4)
представляет собой предел, описывающий миними-
зацию суммы квадратов расстояния между реальной
и аппроксимирующей функциями. Иными словами,
данный подход должен минимизировать отклонение
суммы квадратов расстояний до кривой.
В реальности, за исключением специально за-
данных тестов, решение такой задачи не может быть
найдено с абсолютной точностью, т.к. в процессе
поиска решений приходится опираться на числен-
ные алгоритмы и методы. Это влечет необходимость
применения ЭВМ и, как следствие, арифметических
операций. В результате решение задачи может быть
получено лишь с точностью величины погрешности
численной реализации, формируемой на всех этапах
поиска [7].
Из данной модели и решения системы уравнений
(2) следует, что лишь экскрецию мочевым пузырем и
кишечником можно описать моноэкспонентой, тог-
да как биологическое поведение других камер описы-
вается полиэкспоненциальными функциями (с не-
сколькими скоростями выведения). Однако в рамках
доклинических испытаний РФП для большинства
камер используется моноэкспоненциальная функция
только выведения (не учитывающая быстрого нако-
пления РФП), что является, несомненно, серьезным
упрощающим допущением, но достаточным на таком
этапе исследований. Следует отметить, что зачастую
быстрое накопление удобно представлять линейной
функцией, что значительно упрощает процесс ее по-
следующего интегрирования.
Рис. 1. Камерная модель кинетики транспорта
радиофармацевтического препарата
68
Ga-цитрат
Рис. 2. Пример динамики накопления–выведения
радиофармацевтического препарата
68
Ga-цитрат для
камеры воспаления I
Время, час
Уд.акт.,МБК/камера
t
max
1 2
C
max
45
Расчет фармакокинетических параметров.
Суммирование значений интегрированных частей
(накопления и выведения) функции позволит опре-
делить общую площадь под кривой AUC (area under
curve), физическим смыслом которой является число
ядерных распадов (5) в каждой исследуемой камере:







, (5)
, (5)
где F
1
(t) функция быстрой аккумуляции препарата
в камере, ограниченной во времени [0;t
max
]; F
2
(t)
функция выведения препарата из камеры с кон-
стантой скорости l
BI
; C
max
угловой коэффициент,
отражающий максимально возможное накопление
препарата (или радиоактивности) в камере; S пло-
щадь, отражающая резидентное время в отрезке бы-
строго накоплении и ограниченная функцией F
1
(t).
Клиренс CL (6) отражает элиминацию РФП путем
его выведения из камеры или биотрансформации:



,
(6)
(6)
где IA значение введенной активности (injected
activity), МБк или кБк.
Чем больше значение клиренса, тем меньше
описанная площадь под кривой AUC и, как след-
ствие, препарат быстрее покидает ту или иную ка-
меру. Очевидно, что естественное уменьшение числа
радиоактивных распадов на единицу массы камеры
приводит к получению меньших лучевых нагрузок
пациентом.
Зная клиренс крови, можно найти объем биора-
спределения V
d
(7), который показывает, какой объ-
ем займет введенный радиофармпрепарат с текущей
концентрацией C в исследуемой камере (8): чем ниже
концентрация, тем больше объем биораспределения.
(7)

(8)
(8)
где l
eff
эффективная константа скорости крови,
рассчитанная с помощью камерной модели и метода
аппроксимации Рунге–Кутта.
Статистическая обработка результатов. При
статистической обработке результатов исследования
определяли показатели средних арифметических зна-
чений (M), стандартных ошибок с учетом отклонения
значений выборки от средних арифметических (± m).
Нормальность распределения проверяли с исполь-
зованием теста Колмогорова–Смирнова. При усло-
вии соответствия распределения нормальности до-
стоверность полученных различий сопоставляемых
величин оценивали с использованием t-критерия
Стьюдента. При несоответствии нормальности рас-
пределения достоверность различий оценивали с ис-
пользованием U-критерия Манна–Уитни. Частоты
признаков сравнивались с использованием критерия
χ
2
. Различия считали достоверными при p < 0,05.
Таблица 1
Значения биологических констант скоростей для камерной модели кинетики
транспорта
68
Ga-цитрата
Введение
68
Ga-цитрата
Значения биологических констант скорости l, ч
–1
IB BI LB BL CL KB BK UK B
С цитратом железа (III) 5,595* 0,043 0,027
0
0,013 6,252*
0
0,028 0,016
Без цитрата железа (III) 3,853* 0,058 0,245 0,044 0,198 7,841* 0,022
0
0,063
Примечания:
Физическая константа скорости
68
Ga 0,613 ч
–1
* Резкое накопление в течение 30 мин после введения
68
Ga-цитрата
Таблица 2
Значения фармакокинетических параметров для
68
Ga-цитрата
Камера Введение
68
Ga-цитрата
Площадь под
кривой, кБк/мл · ч
Клиренс, мл/ч
Объем
биораспределения, мл
Средняя концентрация,
кБк/мл
Кровь B с цитратом железа (III) 11,4 ± 1,5 157,3 ± 18,9 250,0 ± 29,8 7,2 ± 0,9
без цитрата железа (III) 79,4 ± 9,5 22,7 ± 2,7 33,5 ± 3,9 53,7 ± 6,5
Очаг воспаления I с цитратом железа (III) 279,7 ± 33,6 6,4 ± 0,9 9,8 ± 1,2 183,5 ± 22,3
без цитрата железа (III) 68,4 ± 8,3 26,3 ± 3,2 39,2 ± 4,7 45,9 ± 5,5
Печень L с цитратом железа (III) 70,7 ± 8,4 25,4 ± 3,1 41,5 ± 5,1 43,4 ± 5,2
без цитрата железа (III) 130,3 ± 14,9 13,8 ± 1,6 21,0 ± 2,7 85,7 ± 10,3
Почки K с цитратом железа (III) 399,9 ± 45,6 4,5 ± 0,5 7,0 ± 0,7 256,4 ± 30,9
без цитрата железа (III) 1267,6 ± 98,6 1,4 ± 0,2 2,2 ± 0,3 819,2 ± 94,1